https://blog.sunfit-brain.com/tags/%E3%82%AB%E3%83%8E%E3%83%8B%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%82%B5%E3%83%B3%E3%83%96%E3%83%AB/ Recent content in カノニカルアンサンブル on Sunfit Brain Lab. Hugo -- gohugo.io ja-jp Sat, 01 Jul 2023 22:00:00 +0900 https://blog.sunfit-brain.com/posts/canonical_ensemble/ Sat, 01 Jul 2023 22:00:00 +0900 https://blog.sunfit-brain.com/posts/canonical_ensemble/ 前提 統計力学＝マクロな系の平衡状態をマクロな性質を、系のミクロな力学の情報に基づいて、定量的に特徴づける理論 熱力学における平衡状態の普遍性＝どのような環境で平衡状態を用意しても全く同じ平衡状態が得られる。 平衡状態を$(T; V, N)$と記述する。 カノニカルアンサンブル（以下、CE）で想定する状況は以下の図に示す通り。 マクロな量子系のエネルギー固有状態を$i = 1, 2, \cdots , n$と番号付けし、対応するエネルギー固有値を$E_i$とおく。 熱浴を1種類の粒子からなる系とする。 熱浴の体積を$V_\mathrm{R}$、粒子数を$N_\mathrm{R}$とし、エネルギー固有状態を$k=1, 2, \cdots$、エネルギー固有値を$B_i$とする。 注目する系と熱浴を合わせた全系の量子状態は$(i, k)$で指定され、系と熱浴の間に相互作用が無視できるほどに小さいならば、$(i, k)$が全系のエネルギー固有状態を指定し、対応するエネルギー固有値は$E_i + B_k$となる。 Canonical Ensembleの導出 全系（注目する系＋熱浴）が平衡状態にあるとする。 マクロに見た全系のエネルギーを$U_\mathrm{tot}$とする。 この平衡状態において、注目する系と熱浴の間の相互作用は無視できるほど小さいとする。 まず、全系の平衡状態をミクロカノニカルアンサンブルで記述する。 つまり、 $$ U_\mathrm{tot} - (V_\mathrm{R}+V)\delta < E_i + B_i \leq U_\mathrm{tot}, $$ を満たす$(i, k)$が「許されるエネルギー固有状態」であり、これらが等確率で出現するモデルを考える。 実際には、熱浴の体積が注目する系の体積よりも十分に大きいので、 $$ U_\mathrm{tot} - V_\mathrm{R}\delta < E_i + B_i \leq U_\mathrm{tot}, $$ とできる。 注目する系のエネルギ固有値$i=1, 2,\cdots,n$を1つ固定すると、熱浴のエネルギー固有状態$k=1, 2, \cdots$として「許される」のは、 $$ U_\mathrm{tot} - E_i - V_\mathrm{R}\delta < B_i \leq U_\mathrm{tot} - E_i, $$